本文引自台大數學系網頁，www.math.ntu.edu.tw/library/history/article_03_09_16.htm
黃武雄 （台大數學系退休教授）
一、
1966年秋，我赴Rice大學讀研究所，隔年考過Ph.D qualify exam。本擬轉校至Berkeley跟隨陳省身先生，但系裡希望我不要轉校，仍維持Rice研究生的身份，Rice願意給我fellowship，讓我赴Berkeley與陳作論文。
1968年夏，我離開Rice去Berkeley。Berkeley正處於反戰運動的高峰期。早在Rice讀書時，我已經開始懷疑資本主義與自由民主之間是否可以劃上等號，Rice位在德州Houston城，當時美國南方還很保守，種族歧視的問題極其嚴重。我在Rice的圖書館大量閱讀世界各國近代史的書籍，對於當時美國假藉自由民主之名，在第三世界國家扶持獨裁政權，捕殺異議人士深為不平。來到Berkeley，自然十分同情學生的反越戰運動，也認同黑人民權的抗爭。在Berkeley兩年，我通過觀察，閱讀及部份參與，重新思考了人道、民主、階級與自由這一連串概念較深一層的意義。
雖然關心反戰與民權運動，我還是用五成以上的時間在做數學論文。1969年春，我把 Chern-do Carmo-Kobayashi 在球面 SN 中的結果，延伸到複數射影空間 CPN 。Chern-do Carmo-Kobayashi所考慮的是球面中最小曲面的剛性(rigidity)問題。把它延伸到複數射影空間，情況便沒有那麼簡潔。我用複數正交標架法，一併考慮了實超曲面，複子流形及全實(totally real)子流形等三種情況，得到了最小曲面的剛性。
實超曲面的情況，當時亦由Blain Lawson證明出來。Lawson把我們兩人分別獨力證明這件事，寫在他寄到《Journal of Differential Geometry》發表的文章中。陳省身先生看到了Lawson Preprint中的這段聲明，打電話找我，要與我商量學位論文的事。那時我不想急著畢業。我喜歡Berkeley的氣氛，多在Berkeley當一年學生，我就可以多在Berkeley學一點東西。Berkeley的數學研究及反戰運動同時都深深吸引著我。
複子流形及全實子流形的情況，後來也分別由其他數學家完成並加以發表。記得到1976年Ogiue 才發表了全實子流形的結果。我年輕時，對發表論文這類事情的態度很散漫，認為只要做出來就好，誰發表都一樣。何況當時所做的，也只是小結果。Spivak對”publish or perish?”所作的諷刺，我當時也深有同感。這種態度維持到我四十歲之後，自己才做了調整。但早年自己的心境，迄今仍很清楚，當時除了求得自己溫飽之外，較關心的還是人道與社會正義，其他對我來說便都是奢求，這樣的心境對三Ο年代與六Ο年代成長的知識份子來說，不致太難了解。可是十分明顯，對從事數學的專業研究而言，卻是不利的。
由於陳省身先生出面，向Rice大學說明我想在Berkeley多待一年的意願，我得以延長在Berkeley做研究的期限。1969年冬，Blain Lawson找上我，說他有一個猜測: 是否三度球面 S3中的最小曲面，會把球面分割成體積相等的兩半? 如果這等積(equi-volume)猜測正確，那將是一個漂亮的結果。Lawson問我有無興趣與他一起工作。於是我開始動手:不久我想出了一個挖地道的方法，Lawson認為答案已經在望，並說做出來時由我自己發表。我認真的計算，用的是陳省身先生於四Ο年代證明Gauss-Bonnet定理時所發展的獨特手法。以陳省身這項著名的手法為基礎，我打造了contour technique。
計算的結果，只得到等積問題的部分笞案。但相應也引出積分幾何中Santalo導過的所有公式，並予以推廣。Steiner公式也因而可以普遍化。可是這些都不是漂亮的結果。後來我只發表了其中一小部份。有趣的是，到了1988年，等積問題的猜測被Karcher-Pinkall-Sterling (JDG)的反例推翻了。
二、
1970年，也是我在Berkeley的第二年春天，陳省身先生問起我: 不是該準備畢業了?為什麼都沒找他幫忙找教職的事？他說那年因越戰，學術預算大幅縮減，大家很競爭，幾個大校都已額滿。怎麼辦？當時已是三月多了。我寫信給在Wayne State University任教的朋友劉豐哲。劉豐哲在台大高我兩班，我們一向都關心台灣政治，反對獨裁，常書信往還，相交甚篤。劉不久打電話來問我是不是真的要去Wayne，我不假思索便說:「是」。幾天後Blain Lawson說他幫我在Rutgers University找到了一個很好的職位。我說我已答應去Wayne。他極力反對，因Rutgers遠比Wayne好，去Wayne沒有好的幾何學家可以一起研究。他拿起電話便要替我辭掉Wayne的教職。我說我既然答應了，便不再更改。
事隔多年回想起來，會覺得自己堅持得毫無道理，可是年輕時就是那付脾性。1970年五月我赴密西根，至Wayne教夏季班。在Wayne兩年，我花了一些時間把Morse的方法用在固定點的存在定理，其中一個結果證明了：對於緊緻流形上的週期函數，它的固定點集的Euler數與函數的Lefschetz數相等。後來Blain Lawson寫信告訴我說，有關固定點集的結果可以用Atiyah-Singer index定理推導出來。這篇論文後來發表在Transactions(AMS 1974)，算是我第一篇發表的論文，幾年後Kobayashi也把這結果收集在他編寫的《Transformation Groups》一書中。反而我的學位論文一直未加整理，沒送出去發表。
三、
1972年夏，我辭去Wayne State University的教職，回台大與中央研究院工作。那時台灣還是特務橫行的時代，常有政治迫害之事，校園裡也總有學生被抓。出入境管制非常嚴格。台灣與國際的數學研究圈幾乎隔絕。我們時常謔稱台灣在戒嚴之下早成了「文化沙漠」。這時期我關心的事，主要是社會與教育。幾年之間，我的數學研究工作，幾乎中斷。七Ο年代台灣的社會正由農業轉向工業。政府的政策是「犧牲農業，扶植工業」。農村雖未崩潰，但農業經營卻經常是赤字。人口大量湧向都市。1972年回台之後，我在中央研究院數學所代理所長，輿論批評象牙塔的學術工作者不食人間煙火。我覺得中研院與台大的統計專業，可以做些實際應用的事。農業經濟調查是個切入點，於是申請了農業經濟的統計調查計劃。當時孫自健、唐文標與楊維哲都參與了計劃。我自己則深入農村發掘問題，以建立問卷，並著手組織學生當調查員，作全省抽樣調查。研究計畫的部分結果於兩年後整理成報告，其中我定義了農地經營的「自然收益」為農地在(儘量)排除人為差異的因素之後，因經營農作物而得的純利潤。報告證明土地等則越高，自然收益越小﹔指出田賦制度極不合理，且水田經營呈現赤字。台灣農村雖因子弟流入都市，以工資寄回原農家，維持農村生計，農村不破產，但農業經營本身則已經破產。
當時蒐集的資料頗為珍貴，惜無經費細加整理，只好保存在台大數學系內。我總想多年之後，有機會再做一次調查。兩相比較，可以更細緻的了解台灣農村的變遷，就像費孝通寫《重訪江村》一樣。可惜後來那些資料在1983年我出國訪問時，因系裡清理舊物而丟棄佚失。
另一個我關注的對象是數學教育的改革。我回台之前，項武義先生已在台灣推動高中數學實驗教材，極力批判當時正流行於各地的「新數學」。1973年我接下了實驗教材三、四等兩冊的編寫工作，並於翌年夏天赴彰化高中實地試教，同時巡迴五、六十個中學，每月又出版《數學教室》雜誌，公開討論數學教學，在各地捲起了數學教育改革的風潮。
從1972年到1978年間，我數學研究的工作，乏善可陳，只寫了幾篇小論文，刊登在中研院的Bulletin。到1977年左右，台灣民主運動逐漸匯集起力量，黨外勢力慢慢在崛起。我一方面與黨外人士時常往來，另一方面則檢視自己荒廢多年的數學研究工作。Blain Lawson還時常把他的論文寄來給我，我清楚明白自己已經脫離研究的第一線，遠遠的掉隊落伍了。雖然要應付當時台灣學術界對教授專業研究所作的要求，仍綽綽有餘，但心底終覺慚愧。
1978年秋，我回Berkeley訪問，想做流形上eigenvalue的問題，苦無結果。隨後轉而研究球面上的Bernstein問題，這是陳省身提出的猜想。猜想的內容是:一個安裝 (embedded) 在 SN+1 中的球面 SN 如果是最小曲面，那麼它一定是赤道球。我廢寢忘食的做了幾個月，以為證明了這個猜想。項武義問我怎麼做的，我說用第二變分式，他說那很可能就走對了路子。翌春，陳省身約丘成桐與彭家貴來他研究室，聽我把細節講一遍。我用的估計很複雜，在複雜的計算式中，丘成桐問了一個一針見血的問題:embedding的條件是不是「完全」用上了？此前我以為自己已經巧妙的用上了embedding的條件，因為我的做法是把minimal cone smooth out成一勻滑的流形，而在上面作估計。可是我深一層想，覺得我的做法好像有些不對勁。我花了整整一個下午把證明講完。丘成桐臨走還告訴我「有希望」。不過我相信他已經看到了關鍵，不想澆我冷水。其後幾天，彭家貴幫我重新校對我的論文手稿。最後我們各自都找到了漏洞的位置。我努力想挽救，但終究失敗。幾天之間，我很沮喪。有個午后，我躺在Oakland一個小公園的草地上，整個下午兩眼瞪著天空，內心異常懊惱。但隨後深自反省，終於相信自己並未抓到真正的節骨眼。幾個月不分晝夜的苦幹，一夕之間，付諸流水，看來白費心力，其實是非常珍貴的經驗。這次的投入與挫折，深化了我對數學研究的認識，也讓我明白自己的缺點:我不能徒有想像，紮實的苦功還是要做好。我在 hard analysis方面的背景訓練太弱了。
四、
1978年，我結束Berkeley一年的訪問。這一年沒做出什麼好的研究結果，但慢慢又與國際數學研究的潮流接了軌。Meeks、鄭紹遠、Richard Schoen開始活躍於幾何學界。丘成桐的工作則已趨成熟。在Berkeley訪問期間，我開始接觸他們的工作，漸漸被他們的路線吸引。幾何學從六O年代最小曲面的深化研究為起點，到了七Ο年代與微分方程深度結合，使幾何學從Bourbarki結構主義影響下的空中樓閣進入現象界，卻不流於細枝末節。相反的，這條脈絡緊緊扣住幾何本質的探討。現代黎曼幾何的核心概念是探討彎曲空間的內涵。例如熱傳導與Brownian運動在彎曲空間的行為何如？古典複變中的 Liouville定理在彎曲空間對嗎？在彎曲空間的無限遠處給定邊界值，那麼偏微分方程中的 Dirichlet問題是否有解？這三者其實是同一個問題：在負曲率空間，熱傳導或布朗運動速度快，無窮遠處的訊息可到達有限處，故Dirichlet問題有解。相應的，Liouville定理在負曲率空間就不成立，因為此時Dirichlet的解便是一個佈滿全域但非常數的函數。反過來，Liouville在正曲率空間是對的，Dirichlet問題無解，因為布朗運動速度太慢。
數學研究猶如藝術創作，數學的品味(taste)顯然各有不同。品味對數學研究的選擇是重要的，秦九韶說「萬物莫不有數」，天地之間數學確實無所不在，什麼東西都可以研究。數學家要選擇研究什麼？這就反映了數學家的品味。早在1968年我還是Rice的研究生時，Rice數學系在topology方面的研究陣容很強，幾位頂尖人物都在Rice。但那裡的研究路線不吸引我，我覺得那是空中樓閣。在文明的各分支中，數學最為抽象。離開抽象就沒有數學。但數學應游走於實際現象與抽象結構之間。我認為先觀察而後結構，有人則只喜抽象結構。這是我喜歡Archimedes與Euclid，但不認同柏拉圖的緣因，後者對我來說終究是空中樓閣。這項體認也是1968年我離開Rice去Berkeley學最小曲面時的心理背景。微分方程規範了自然界的幾何形體，研究這種形體的幾何會比研究空泛定義下的幾何更為詭譎生動，結構也更豐富多變。抽象與現象相互為用，其間存在著有趣的辯證關係。
早在1972年我初回台大時，曾與張秋俊合開一門結合微分幾何與微分方程的討論班，當時叫做DEG seminar(Differential Equations and Geometry)。討論班便是在上述的體認下進行的。那時我很想做彎曲空間上的Laplace值譜問題。熟讀M.Berger由Springer-Verlag出版的講義。值譜問題很吸引人，Kac在他的著名論文〈Can one hear drums?〉中，提出這樣的問題:「聽鼓聲能否知道鼓的形狀?」用幾何的語言說:從黎曼流形上的Lapalcian的值譜，能夠決定流形的幾何到什麼程度？但今日回想起來，自己當時還是能力不足，也未十分努力，終究沒有弄出像樣的東西。DEG Seminar開了一年多便告中停止。到了1978重訪Berkeley，知道丘成桐、鄭紹遠、Schoen等人的工作，覺得開了眼界。
五、
1979年底,台灣發生美麗島事件。幾位過從甚密的朋友都被逮捕，一關就五年八年。從1972年，初回台灣，我便在邊緣地帶支持民主運動。紀萬生、王拓、陳菊、蘇慶黎都變成好友。1978年重訪Berkeley時，一方面努力做數學，另一方面仍關心台灣政治情勢，例如協助林孝信成立台灣民主運動海外支援會，也寫了支援會宣言。這份宣言後來流入台灣。美麗島事件中被抓去的王拓與陳菊，都被問及那份宣言與我的關係。
美麗島事件發生,全島風聲鶴唳。看朋友們被抓,我深為難過。唐文標因為在黨外雜誌上匿名寫了許多文章，也擔心被抓。我對唐說：「我們不會有事，除非抓500人才會抓到你，抓1000人才會抓到我。」究竟我未有第一線的參與，只做邊緣性的支援，不覺得會被注意。做為知識份子。我不以為自己可以不問世事，閉門專作研究。專業工作表現與社會責任對我來說,是一體兩面。Alan Porter評論Henri Bresson的結語說:「他必須先是世界公民，然後他才是傑出的藝術家。」Bresson的作品蘊含他對人深沉的悲憫，道白他對人類困境似遠還近的關懷，猶如他取鏡的手法。藝術家如此，何獨數學家例外?
Pablo Casals講自由是一切創造的根本。他低沉雋永的琴韻觸動了二十世紀無數人底層的心弦。人失去自由,便沒有藝術創造，沒有科學創造。從事數學研究的專業者，如何能無視於獨裁者對自由人權的蹂躪？
這是我年輕時代所面臨的兩難。清華大學社研所吳介民說，這種兩難是那個時代第三世界知識份子的宿命。做好數學專業一定要投入全付心力。我不以關心社會做為自己未全力做好數學的藉口。事實上，我尤其敬仰那些為數極少，能做好頂尖的專業工作，又深度關切世事的人，如Palo Casals，Pablo Neruda，Noam Chomsky，Alexandre Grothendieck，Edward Said。寫這段話只為了忠實表白自己及我同時代一些人內心長年的矛盾，不意也證明了自己數學才能的限制。
六、
1980年陳金次從Stanford讀完書來台大。他在Stanford跟Robert Finn學毛細曲面，並帶回來一些有趣的問題:裝在一個凸容器的毛細曲面，是否也是凸狀？我猜想這種毛細曲面若有凹處，那麼矛盾會出現在由凹變凸的銜接點。為了理解銜接點附近的曲面形狀，我試圖用圓柱面去切觸毛細曲面，並實際動手勞作。用塑膠奶瓶與玩具黏土捏出模型。不久我想起Alexandrov在他著名的對稱話方法中曾發展出橢圓微分方程的高階接觸比較定理。利用圓柱面來與毛細曲面作二階切觸比較，我證明了當毛細曲面在邊界與容器相切時，則曲面確成凸狀。約一年後，Finn則證明在邊界相切的條件是必要的。如果不相切便可造出反例。我把這結果寄到《Inventiones of mathematicae》(vol.67,1982)刊登。由於問題是陳金次告訴我的，而且我在思考這個問題也常與他討論,所以就與他聯名發表。我們當初考慮的是無重力狀態下的毛細現象。在有重力時,類似的結果由Nicholas Korevaar獨力完成。
利用二階接觸比較的技巧，我隨後又對毛細曲面最低點的位置作了定量的估計，並說明這估計是sharp。陳金次也利用它得到其他的結果。Robert Finn後來告訴我說,此前他用過二階切觸比較，作過一些東西。順利解決這問題，對研究方向有直接影響，我開始漸漸熟悉一般非線性橢圓微分方程的技巧,研究興趣也擴及分析方面的問題。
美麗島後幾年，民主運動陷入低潮。政治迫害的大案，神人共憤。林宅血案後，陳文成也被謀害。陳文成於1971年自台大數學系畢業。遇害前已在Carnegie大學任教。1981年暑假回台，被警備總部約談後一去不回。幾天後陳屍台大校園。約談之前兩天還拜訪母系，與我聊天，誠摯熱情，令人難忘。案發隔天，我去他父母家祭拜，看他父母痛不欲生，又看四周特務戒備森嚴。天地不仁，草木何存？他的慘遇讓我萬分悲憤,也沮喪一段時日。
1979到1983年間，台灣政情苦悶低迷，我只有專心於數學。1984年夏，我赴Standford訪問一年，並兼任常微分方程的課。我與Finn,Gilbarg,White及Tam時常討論數學。自覺學問有若干進步。也是這段時間，我閒來對王安石與對李義山的詩，下了一些功夫。覺得近人重蘇薄王，不過是偏見，純因為政治意識保守。王詩「誰似浮雲知進退，才成霖雨便歸山」瀟灑自如。我喜歡李義山，則因其詩迴疊詭綺，又溶其社會批判於情詩，竟了無痕跡。這段時日感慨時局，亦念舊友身繫囹圄，偶而寫點散文排遣情懷。在中國時報寫〈糟蹋〉一文，便是這種心情的羽化。
七、
時序進入政治解嚴前夕，自由民主的呼聲開始此起彼落，我逐步涉入校園民主運動。同時保留三成的時間做數學研究。1987年我寫了一篇長文，主張橢圓微分方程解的凸性，與零階 (例如Dirichlet)邊界條件或一階(例如Neumann或capillary)邊界條件的關聯是間接的，甚至與其定義域呈凸狀的假設，都只是間接關聯。真正決定解是否為凸性的，應為二階邊界條件。如此主張的基礎是我探討了下列的問題:什麼時候一般二階對稱張量(如解曲面Hessian的固有值，或其第二基本式皆為考慮二階對稱張量的原始雛型)，會滿足Maximum Principle? 這估計相當繁複，但我還是弄出來了。可是結果顯示我所期望的自然規律並不完整。論文也未發表，直到2001年，我才把它放入〈Minimum Principle,Convexity and Curvature Distribution〉[mp]一文中。當時的研究結果不完整的理由，是我的企圖太大。我想找一方法，包容所有Convexity問題的結果。可惜事實未如人願，但它對我後來持續十年的研究(也是斷斷續續)，卻開了頭。
這段日子最讓我愉快的，是我與王藹農合開的幾何seminar，後來呂輝雄加入，便與清大合辦。黃振芳亦經常來參加。這個seminar對我來說是早年與張秋俊合開的DEG Seminar的延續。1979到1982年間我也與劉豐哲，陳金次弄過seminar，側重義大利學派de Giorgi， Bombieri用BV-function處理最小曲面的技巧。我與王藹農合開的seminar，對微分幾何當時最新的主流問題，廣泛討論。王藹農生性淡泊，又涉獵甚廣，我從他那裡學了很多東西。他讀過很多重要的論文。Seminar的議題毋需事先安排，每次上課時，當場問誰要講，由於大家熱烈參與，經常有人志願要講。有人講，大家就聽。沒有人講就叫王藹農講。王藹農一言不發走回office，在資料櫃抽出一篇他有興趣的論文，便上台講述。通常都講得條理清楚，興味盎然。這綿延近十年的幾何seminar台大清大做微分幾何的研究生應也記憶深刻。我尤喜歡討論的氣氛。課上大小問題，大家都隨時發問，或上台補充，彼此絲毫不以為意。我覺得一般數學的seminar都太正式，大家不敢問笨問題。偶有人在台下發問，也是一問一答便幾乎停止對話。我認為數學研究者反應再快，也無法對別人的工作，一一熟悉到當場就了然於胸。若沒有經營一種完全開放無忌的輕鬆氣氛，討論常常是單向說明，演講聽完後仍不易深入其中內容。學習與研究的效果便大打折扣，在一般數學seminar中，我相信在座聽眾一知半解的佔大多數。因此上seminar便成了負擔，而非愉悅。我們這個幾何seminar的課中，由於大家敢問敢說敢發表意見，有時幾個人一起到黑板上畫東畫西，使大家都能凝聚起精神討論，細節也都弄得很通徹。
人為什麼要投入一生心力於學術研究？從年輕時代我就時常想這問題。無疑的自我表現以求肯定是個驅力，但難道要了解世界的好奇心不是更原始的動機麼？把學術研究變成純粹人比人的場所，而忘了自身好奇的本性，把人追求知識的熱情愉悅轉化成純粹的競爭，難道無損於人類文明的價值？我贊同今日的學術研究者應承受競爭的壓力，因為學術研究只是文明分工之中備受禮遇的一個部門，必須承擔社會責任。但研究者自己做出結果的喜悅，感悟別人美麗心血結晶時的讚歎，日夜與同仁切磋討論時一點一滴的收穫，這種種不同形式的互動，帶來的自我肯定，應凌駕於評比競爭的外在表現。
台大幾何seminar也孕育出一些研究成果，參加者有些不錯的工作，直接或間接啟發於seminar，也陸續發表於幾個重要的國際雜誌。在seminar後期我曾想將那些論文彙編成一本集子，寫一些當時的故事。後來因同事中有異議，覺得多此一舉，便不了了之。但那seminar確實給過我多年愉快的時光。Seminar用我名義開課，上課鐘點費則匯集成「幾何基金」，贊助相關研究。課中討論熱烈，時常延長至天黑，大家一起無分師生翻過台大北側圍牆，到對面巷內一家老麵店吃麵聊天。那家老麵店是違章建築，大家常在巷邊搭桌用膳。因為要爬牆，久而久之大家都叫那家麵店做「爬牆麵」。可惜後來已被拆除。
八、
1987年國民黨政府宣佈解除政治戒嚴，但台灣並不因此順利成為民主社會。正好相反，抗拒改革的保守勢力依然強大無比。但要求民主自由的共識已逐漸形成。改革與保守兩股勢力的衝突，在解嚴之後開始搬上檯面，街頭運動不斷發生。台大校園少數學生走在改革浪頭，興起校園言論自由運動。一些系所的教員也被浪潮帶動，支持校園民主。李文忠退學事件把我捲入漩渦，我無法坐視學生的無助，坐視年輕人的民主理想一再被強大的政治勢力假藉校規摧殘無餘。同時校園外的社會運動如農民運動、環保運動、教育改革運動正開始抬頭。我除了維持教課及參加幾何seminar之外，研究數學的時間因積極參與校內外社會民主化的運動，而所剩無幾。
這幾年街頭運動，如果是事先知道的，我幾乎無役不與，從反核禁食靜坐，反暴警事件，到新聞自由，三月學運我都在場，有時也在鎮暴警察環伺下夜宿街頭。有一次一位上大一微積分課的學生在下課後追上我說:「老師,為什麼政府老是聽不進去大家在講什麼,你這麼老了,還要這樣夜宿街頭。」她話未已,已紅了眼眶,年輕人流露摯誠，我頗受感動，想起1969年我在Berkeley，反戰運動正達高潮，當時越南人民死傷無計，美國士兵亦已死五萬人傷三十萬，我數度參加學生示威，吃催淚彈。有次名歌手John Baez來學校演唱，夜很冷，大家裹著被子去聽歌，她與另一名女歌手對唱，我記得有一段歌詞是:「妹妹與我不斷向爹娘訴說:事情不是這樣，不是這樣」，當她們反覆唱到「但他們不聽，不聽，不聽... 」之時，全場聽眾不覺一起附和的唱著:「他們不聽，不聽，不聽」，歌聲沉痛，震人心弦。
年輕時我讀聞一多的傳記，他寫過一些新詩，有一首自比小孩，降生到世間，看到這世界如此荒繆，他連說:「這不是我的中華，不對，不對。」聞一多當時是西南聯大的教授，後來被蔣介石派人暗殺，1990年左右，有次與陳省身先生閒聊，我忽然想到聞一多，陳先生與聞一多同時在西南聯大任教，我問起陳先生是否認識聞一多，他說認識。稍停之後，反問我一句「為什麼提起聞一多?」我回答:「沒什麼。」事實上，我心裡想問的是專業責任與社會關懷的衝突。陳先生在數學專業上成就頂尖，聞一多則是為社會關懷付出了生命。我終止追問，因知這兩者冰炭不容，走哪條路，到底是個人選擇。
我生在二二八悲劇與白色恐怖的年代，成長環境又讓我對人世較為早熟，冰與火在我心中兩相拉扯，或許真是宿命。但我絕非理想主義者，我心中沒有理想國。「善」之於我，尤為陌生，我從不追求「善」，我要的只是自由，我認為每個人都有他獨特的生命，但生命獨特的基礎是自由:生存的自由、求真的自由、美的自由，與人互動的自由。我只是不願看到人的自由不斷被集體意識，被強權暴力所摧殘。但我又無能為力，而且沒有勇氣，沒有足夠的熱情，跳到火中去燃燒自己。
我有的只是冷靜的頭腦，分析自己，分辨是非，比較知道這個世界的真實長相。我追求的不是「善」，頂多是「真」。我參與社會的動力來自求真。我認為「善」(包含愛)是個人的，「善」與「愛」不能公眾化，一但公眾化，「善」與「愛」就要變成偽善，變成教條，甚至會反過來吃人。世間多少悲劇都來自公眾化的「善」與「愛」。我會走上街頭，只因抗議獨裁者為什麼無知到要踐踏這個世界最可貴的真實，就像John Baez的歌中所唱，像聞一多的新詩所云。
八O年代，我在台大上課時注意到一位旁聽的學生。一連多年不論我開什麼課，他都坐在台下，從不發問，從不參加討論。幾次我在課後與他談，他告訴我他對數學很有興趣。我便試圖了解他的程度，建議他如何選課，如何讀書，如何讓自己進步。有個夜晚，我在研究室裡工作，隱約覺得門外走廊時而有人來回徘徊，後來才看到是他。邀他進來聊談，他欲言又止，並語意不清。斷斷續續的，他談到政治迫害，談到學者被監聽之事，也談到有些事他身不由己。最後神情沉重，語帶感情對我說:「老師，你要多注意，多保重。」從此便消失無蹤。其實我老早便猜想他是職業學生，被派來監視我的言行，但我並不因此而對他特別存有戒心。相反的，我看他本性忠厚，對他的態度與對其他的學生無分軒輊。我關心他的課業，他的心情。我總覺人的本性可善可惡，環境如果壓抑人的自由，使人不能獨立思考，不能有所選擇，那麼人會墮落，世界會變得非常可怕。可是反過來，人有生存的自由，有思考的自由，有嘗試錯誤的自由，有了解世界的自由，一點點關切或許可以啟動他心靈深處的美。這位學生的出現讓我更篤定這樣的信念。
1990年我把橢圓微分方程解曲面各類曲率的上調和性(superharmonicity)，做更細緻的探討，例如把一個裝著液體的封閉凸容器，拿到太空中，問這時液面會呈現什麼形狀?又例如 Max Shiffman早在1956年(Ann. of Math.)討論過夾在兩平板間的管狀(annulus-like) 最小曲面，若其邊界為兩個凸閉曲線，則可證知:任一平行於兩平板的平面，截在曲面上的截痕，亦必為凸閉曲線。最小曲面是內外兩側壓力相等的肥皂液面所呈現的形狀。我考慮內外壓力不一的情況，證明液面內壓力小於外壓力時，Shiffman定理仍對。王藹農則證明內壓力較小時，有反例。我把上調和性的研究結果發表在《Pacific J. of Math.》(1992)。
這段期間我又估算常均曲率曲面延展範圍的大小，並成功的應用到Phragmen-Lindelof問題上，這篇論文在1992年Stanford與Berkeley兩校數學系為Robert Finn合辦的退休研討會上發表，並刊登在《Advances in Geometric Analysis and continuum mechanics》 (International Press，Cambridge)一書中。
這幾年象牙塔外的世界，示威遊行連連不斷。五二Ο農運、反核四、反對體罰、反軍人干政、反刑法一百條，校園內外風風雨雨對我的數學工作都有影響。1992年我與一些學運的學生籌劃用影像分析當前社會結構，使大家看到台灣社會各種問題癥結。不久我們成立里巷工作室。我與學生拿起攝影機到全島各地，紀錄教育現象，剪接毛片，製作〈笑罷童年〉這部評論性的影片，並深入各地巡迴放映，現場討論教育問題。
早在1973年回國不久，我便因編寫高中數學實驗教材赴中學試教。我看到台灣數學教育所以扭曲變形，問題不止出在數學教育本身，而出在政治出在社會。人的獨立思考，人的自由創造原本是教育的首要任務，可是在獨裁政治的現實中，這些都變成空談，甚至都不斷遭到壓制。很明顯，台灣幾十年來的教育是為了人力規劃而非為了人才培育，是為了政權安定，而非為了使每個人謀求最好的內在發展。教育的面目扭曲變形，是台灣政治社會造成的必然結果。1993年秋末我開始四處鼓吹，尋求各方支持，共同發動大規模遊行要求全面改造台灣教育。1994年四月十日終於集結兩三萬人走上街頭，展現民間要求台灣教育進行全面改造的強烈意志。這便是所謂四一Ο教改運動。台灣的教育改革從此蔚為風潮。
九、
1994年10月我罹患末期肝癌，並已擴散到肺部，亦達十多個腫瘤。幾家醫院的診斷都預言生命期只剩下三到六個月。肝癌發病當天，我在清大演講最近研究結果：常切曲率的曲面若有凹陷，則所佔範圍必然廣大。演講結束便因胸腰疼痛而病倒在呂輝雄的研究室。
我自己很喜歡這個「大凹陷」的結果，它解釋了許多相關的問題，同時也透露出凸性問題的本質。多年前我曾一度猜想凹陷部份至少涵蓋穩定面域（domain of stability），但不難在管狀常均曲率的曲面上找到反例（比如用一般Delaunay surface）。1994年夏，林俊吉服完兵役回來，向我說他的新結果：讓皂泡面上的某塊面域變形，其他部分不動，均曲率會隨皂泡體積增加而減少或增加。當面域很小，均曲率應增加。但當面域擴大到一個臨界面域時，則均曲率減小。對於這臨界面域他證明可用Jacobi Operator的第一固有值是否為零，來作為判準。
我隨後細想，這臨界面域與Giusti在非參數曲面上考慮過的極面域(extremal domain)，有密切關聯。它恰好是Giusti所定義的極面域在一般曲面上的推廣。於是我在一般曲面域上用林俊吉的判準，定義了極面域。我觀察到:極面域比穩定面域範圍稍小，但已相當廣大，例如任何非參數常均曲率的曲面域，都還比極面域小。然後我證明了常均曲率曲面上的凹陷部份，至少要涵蓋極面域。
橢圓微分方程慣常使用的maximum principle,comparison principle與continuity method，對於這些問題都使不上力。我採取變分法，估計第二變分式，才完成這項結果。我自評這個工作不論從問題的意義或從方法的開創性來說，都是我十多年來做得最好的研究。1994年10月病發之後，我想應該把它寫成論文發表。等到在病床來整理論文時，發現在清華大學演講當天我的估計有個漏洞。我又花了將近一個星期重作估計，終於把那個漏洞補好。當時我在加州就醫，完成這項工作對一個面對死亡的癌症病人來說，意義深長，旁人恐怕不易體會。
我當時以為大凹陷的結果將是自己一生最後的工作，對於《Archive of Rational Mechanics and Analysis》這個刊物一直維持old fashion的taste，素來我情有所鍾。這時我便把林俊吉所做的判準(即論文中的Theorem 1)放在一起，寄到Archive。因為病中做事不積極，連校對都拖了一年，論文遲至1998年才發表。
關於我後來如何死裡逃生，茍延至今日，許多人都深為好奇。為什麼奇蹟會發生在我身上？我其實一無所知。我的數學訓練讓我不輕易對因果下結論。這段抗癌經歷我也許該另文說明。
1994年生病前後，我整理並出版了三本非數學專業的書：《童年與解放》、《台灣教育的重建》與《黑眼珠的困惑》。這些書多少紀錄了近一二十年我在數學之外所思考過的一些事。
十、
1995年夏天，我開始寫另一篇有關經濟哲學的論文。寫這篇論文耗掉我病中整整兩年的時間。早在1987年我在《Science》雜誌上讀到一篇通俗文章，標題是”Democracy is mathematically unsound”。此後便對Arrow的詭論發生懷疑。Kenneth Arrow在1960年曾以簡潔的數學推論，證明了：「理性的公共選擇不可能」。(後被引申為「直接民主經數學證明為不可能」。)這個詭論對現代政治經濟學影響深遠。Arrow本人後來也因此得到諾貝爾經濟學獎。幾十年來更衍生出無數相關的研究。到1999年A. Sen還因這一方面的研究得另一個諾貝爾經濟學獎。1987年我剖析Arrow推論，質疑其理性原則。在台大經濟研究所做了一個演講。那時我的觀點尚未十分成熟。1995年我拿出當年的講稿，想把它寫成論文，不久便越陷越深。原因是我讀了Arrow學派其他研究者如Chichilnisky, Baigent等人的論文。其中Chichilnisky因處理連續選項集(continuum alternative set)的問題，與幾何關聯較厚，尤其引發我的興趣。
Arrow處理的是較簡單的離散狀況(discrete case)。他的理論常被質疑的是：他所提的獨立原則(independence of irrelevant alternatives)能否看成一個理性原則？Chichilnisky則對連續狀況(continuum case)，改提連續性(continuity)作為理性原則，她證明了：不存在公共選擇(continuous social choice)滿足連續性、一致贊同(unanimity)與匿名性(anonymity)等理性原則。連續性作為理性原則當然無可厚非，如果她的說法正確，那麼理性公共選擇確實成為邏輯上的不可能。我仔細分析，發現她用的topology出了問題。
1997年我完成〈Singularity in Social Choice Theory - Democracy is not mathematically unsound〉，論文長達80頁。我再到台大經濟所演講。我的論點是：主張理性公共選擇不可能的諸多理論所建立的數學模型，都先天排除了特異現象(singularity)。經濟學家對公共選擇中的特異現象，視而不見。我把這特異現象用數學結構主義的觀點，加以明白界定。
在自然科學家的研究中，特異現象的處理，是大自然對研究者的挑戰，也是許多研究因而蓬勃發展的生機。何以經濟學家面對公共選擇時，所建立的模型可以避開特異現象。我的結論是：公共選擇的結果，無可避免的會出現特異現象，既然所建立的模型把特異現象摒除在外，無怪乎他們可以證明出理性的公共選擇不可能。
我把這篇論文的一部份，改寫成一篇較短的文章，標題為”Is the proximity preservation rational in social choice theory?” ，僅20頁，將刊登在現今這領域最重要的雜誌《Social Choice and Welfare》(April,2004)。文章接受之前，曾歷經幾年與經濟學家之間的辛苦論辯，最後他們才了解了我的論點。至於論文的其他部分，我還須花功夫去說服經濟學家，這將更費周章。原因之一，是我用了太多數學。但要闡明singularity的概念，又要分析經濟學家已建立的模型，只能借助更細緻的數學。無論如何我認為經濟學家應該有singularity的概念，也應該正視它。
另一方面，那篇大凹陷的論文在Archive發表前後，Robert Finn寫信給我，說這觀點很可能是整個凸性問題的關鍵線索(clue)。事實上這項工作也與Hopf猜想有密切的關聯。五Ο年代Hopf提出的猜想是說：R3中任何封閉皂泡皆為球狀。這裡所考慮的皂泡可以有自我交穿(self-intersection)的現象。1984年Henri Wenti製作了許多環面皂泡的反例。在Wenti的工作出現之前，許多幾何學家都曾對Hopf猜想感到興趣，除了少數人像項武義，余文卿站在反方，作出一些啟示性的反面工作之外，有許多幾何學家都試圖證明Hopf猜想是對的。大家支持Hopf猜想的信念，來自於封閉皂泡不應有凹陷部分，一旦知道它沒有凹陷，馬上可以引用Cohn-Vossen的定理，得證Hopf猜想。1982年左右當我發展出二階切觸的方法以排除凹陷部分時，我也曾試圖用這個方法去證明Hopf猜想，結果當然失敗。Wenti的反例說明了「封閉皂泡沒有凹陷」的信念是錯誤的。我後來的研究則進一步澄清這件事：皂泡不是不能有凹陷，而是如果有凹陷，那麼凹陷區域必然廣大。這樣就更清楚的勾勒出Hopf猜想背後的幾何直覺，也清楚的刻劃出皂泡的大域性質。
這個結果同時說明了橢圓偏微分方程中凸性問題的本質：「當解曲面的範圍不夠大時，凹陷便無法在內部產生，因此解曲面是凸的」我自己的工作只及於Laplace方程與常曲率方程。如果這件事能涵蓋更多的非線性橢圓偏微分方程時，那麼我們便找到了凸性問題的關鍵。
2000年我在中央研究院演講時曾提出這觀點，並把大凹陷的方法再做延伸，證明凸區域也必包含極面域，因此得以刻劃皂面上凹凸交界線的形狀。2001年夏，我將這些結果做了全面性的分析，寫成〈Minimum Principle, Convexity and Curvature Distribution on Elliptic Solution Surfaces〉一文。這篇長文可說是我近年研究結果的總結，同時也澈底弄清楚1982年我與陳金次合作的問題，所蘊涵的深層意義。由於當時的結果發表在《Inventiones》，二十年後我也試著寄到同一個雜誌，看看會不會刊登。
十一、
台灣在政治解嚴，國會改造及總統直選的改革逐步實現之後，所謂「國家理性」已漸漸形成共識。國家理性是西方近代國家興起之後，所發展出來的概念。其中所謂國家精神，尤為哲學家黑格爾所推崇。它的意義是由政治菁英在國家整體發展的原則之下，擬定一套法律與民主程序來規範社會秩序，並予以有效執行。國家理性與資本主義結合，一經一緯編織成西方所謂自由民主的現代社會。
但這樣的民主，究竟是菁英民主。Karl Popper鼓吹開放社會，反對國家神話，直稱黑格爾是知識騙子。在菁英思想中，個人依舊不是主體，況且背後有國家主義的支撐，戰爭的陰影經常威脅人類和平與文明，而文明又不斷與自然對抗。人內在的自由解放，尤其遙不可期。當前世界的局勢如此，台灣內部諸種問題更層出不窮。
解嚴只是一個起步，在現代社會的門檻之前，台灣步履蹣跚走到了世紀末。數學、癌病之外，我仍密切在注意社會與政治，寫一些時論與雜文。1997年，我寫了一篇長文〈深化民主，發展新文化〉登在中國時報四版，引起不少迴響。我批評擴張主義與菁英主義這兩個主流價值，完全支配了台灣社會的意識型態。我主張開創新環境，進行社會重建，讓台灣社會進行內在反省，只有這樣，人的自由與解放才有萌芽的土壤。普及社區大學是其中一環。讓眾人有機會以知識為基礎，藉由公共參與，開放討論，重新認識世界，社會的成員才有獨立思考的能力，對現有的社會體制也才知所批判。1992年我曾倡議設立社區大學，到1998年，我抱病著手參加社區大學的推展運動，1999年夏我從台大退休，接掌永和社區大學的實務。希望為各地社區大學建立一種典範的類型。
2001年春，我辭去社區大學的工作。退隱整理數學論文，並開始思索餘生。
十二、
我於1960年進台大數學系，時方年滿十七，對數學茫無所知，不意四十年沉浮，竟與數學日日為伴至今。我小時對數學功課並無特別興趣，但喜歡想一些奇奇怪怪的數學難題，進數學系不過是巧合。十五歲讀天文航海家Nathaniel Bowditch的傳記深受吸引。Bowditch英譯 Jean Pierre Laplace的巨著《Celestial Mechnics》三大冊，終生在海上與日月為伍，熟諳二十多種語言，校對三角函數表，使航海技術大幅躍昇，減少海難。他幼時只上學一年便去船運公司當學徒，讀書全靠自學，因夜裡躲在閣樓苦讀牛頓《力學原理》的拉丁文版而學會拉丁文及物理。一生傳奇無數，我年少時本愛文學，因心儀其人經歷，思學天文而選數學為己業。
我一生數學研究水準平平，除一兩結果外，並未做出一流的工作，但數學於我則影響甚鉅。鑽研數學，使我慣於從根本思索問題，不迷惑於表象。年輕時以為數學中深蘊真理，老時方悟世間原無絕對之事。天理萬物，唯相對於其所屬系統。數學訓練使我善於獨立思考，不相信權威，不輕易媚俗。偶失於封閉，猶常能反覆思省人的根本價值，不讓自己迷失於專業的叢林之中。
浸淫於數學，使我洞悉抽象的深層意義，明白抽象與現象兩者糾結互動的辨證關係，進而思索抽象在人類文明中所佔核心位置。抽象是一把利刃，抽象思考使人能看到事情的普遍性，神智因而通明。抽象也是陷阱，使人無視世間種種特殊現象的富麗多變，而流於封閉專斷。文明知識的本質是抽象。知識份子之優於常人，亦在於他善於掌握抽象，別無其他。我於1999年為社區大學寫〈經驗知識與套裝知識〉一文，正是這條脈絡下的省悟。
數學是個人化的工作，數學創造深含自由的樂趣。有時做別人提的問題，有時做自己提的問題。「一張紙一枝筆」數學家不怕孤獨。但數學研究不是永遠的彩虹，挫折、千百次的挫折、瓶頸裡的困頓，在困頓中看到一點亮光，循著亮光披衣夜行，然後頹然，重陷黑暗，在黑暗中張大眼睛久久，看不到什麼，只是出神。來回踱步，抱頭鎖眉。千百次的挫折，偶有一次欣喜。數學研究讓我在面對人世的困境時，每每不輕言放棄，鍛鍊出我堅韌的個性。
人在專注中所學得的，最為刻骨銘心。每一個專業工作者都有無數癡迷的體驗，毋庸我多言。我寫這篇數學生涯，只為紀錄自己與數學的因緣，為自己做個交代。
人世間多少悲歡，四十年學算，歲月忽焉而過，在數學專業和社會責任的兩難之間猶疑徘徊，終至一事無成。回首前塵，枉自傷情。於今我仍相信：
一個數學工作者必須先是一個人，然後才是一個數學家。
黃武雄 （台大數學系退休教授）
一、
1966年秋，我赴Rice大學讀研究所，隔年考過Ph.D qualify exam。本擬轉校至Berkeley跟隨陳省身先生，但系裡希望我不要轉校，仍維持Rice研究生的身份，Rice願意給我fellowship，讓我赴Berkeley與陳作論文。
1968年夏，我離開Rice去Berkeley。Berkeley正處於反戰運動的高峰期。早在Rice讀書時，我已經開始懷疑資本主義與自由民主之間是否可以劃上等號，Rice位在德州Houston城，當時美國南方還很保守，種族歧視的問題極其嚴重。我在Rice的圖書館大量閱讀世界各國近代史的書籍，對於當時美國假藉自由民主之名，在第三世界國家扶持獨裁政權，捕殺異議人士深為不平。來到Berkeley，自然十分同情學生的反越戰運動，也認同黑人民權的抗爭。在Berkeley兩年，我通過觀察，閱讀及部份參與，重新思考了人道、民主、階級與自由這一連串概念較深一層的意義。
雖然關心反戰與民權運動，我還是用五成以上的時間在做數學論文。1969年春，我把 Chern-do Carmo-Kobayashi 在球面 SN 中的結果，延伸到複數射影空間 CPN 。Chern-do Carmo-Kobayashi所考慮的是球面中最小曲面的剛性(rigidity)問題。把它延伸到複數射影空間，情況便沒有那麼簡潔。我用複數正交標架法，一併考慮了實超曲面，複子流形及全實(totally real)子流形等三種情況，得到了最小曲面的剛性。
實超曲面的情況，當時亦由Blain Lawson證明出來。Lawson把我們兩人分別獨力證明這件事，寫在他寄到《Journal of Differential Geometry》發表的文章中。陳省身先生看到了Lawson Preprint中的這段聲明，打電話找我，要與我商量學位論文的事。那時我不想急著畢業。我喜歡Berkeley的氣氛，多在Berkeley當一年學生，我就可以多在Berkeley學一點東西。Berkeley的數學研究及反戰運動同時都深深吸引著我。
複子流形及全實子流形的情況，後來也分別由其他數學家完成並加以發表。記得到1976年Ogiue 才發表了全實子流形的結果。我年輕時，對發表論文這類事情的態度很散漫，認為只要做出來就好，誰發表都一樣。何況當時所做的，也只是小結果。Spivak對”publish or perish?”所作的諷刺，我當時也深有同感。這種態度維持到我四十歲之後，自己才做了調整。但早年自己的心境，迄今仍很清楚，當時除了求得自己溫飽之外，較關心的還是人道與社會正義，其他對我來說便都是奢求，這樣的心境對三Ο年代與六Ο年代成長的知識份子來說，不致太難了解。可是十分明顯，對從事數學的專業研究而言，卻是不利的。
由於陳省身先生出面，向Rice大學說明我想在Berkeley多待一年的意願，我得以延長在Berkeley做研究的期限。1969年冬，Blain Lawson找上我，說他有一個猜測: 是否三度球面 S3中的最小曲面，會把球面分割成體積相等的兩半? 如果這等積(equi-volume)猜測正確，那將是一個漂亮的結果。Lawson問我有無興趣與他一起工作。於是我開始動手:不久我想出了一個挖地道的方法，Lawson認為答案已經在望，並說做出來時由我自己發表。我認真的計算，用的是陳省身先生於四Ο年代證明Gauss-Bonnet定理時所發展的獨特手法。以陳省身這項著名的手法為基礎，我打造了contour technique。
計算的結果，只得到等積問題的部分笞案。但相應也引出積分幾何中Santalo導過的所有公式，並予以推廣。Steiner公式也因而可以普遍化。可是這些都不是漂亮的結果。後來我只發表了其中一小部份。有趣的是，到了1988年，等積問題的猜測被Karcher-Pinkall-Sterling (JDG)的反例推翻了。
二、
1970年，也是我在Berkeley的第二年春天，陳省身先生問起我: 不是該準備畢業了?為什麼都沒找他幫忙找教職的事？他說那年因越戰，學術預算大幅縮減，大家很競爭，幾個大校都已額滿。怎麼辦？當時已是三月多了。我寫信給在Wayne State University任教的朋友劉豐哲。劉豐哲在台大高我兩班，我們一向都關心台灣政治，反對獨裁，常書信往還，相交甚篤。劉不久打電話來問我是不是真的要去Wayne，我不假思索便說:「是」。幾天後Blain Lawson說他幫我在Rutgers University找到了一個很好的職位。我說我已答應去Wayne。他極力反對，因Rutgers遠比Wayne好，去Wayne沒有好的幾何學家可以一起研究。他拿起電話便要替我辭掉Wayne的教職。我說我既然答應了，便不再更改。
事隔多年回想起來，會覺得自己堅持得毫無道理，可是年輕時就是那付脾性。1970年五月我赴密西根，至Wayne教夏季班。在Wayne兩年，我花了一些時間把Morse的方法用在固定點的存在定理，其中一個結果證明了：對於緊緻流形上的週期函數，它的固定點集的Euler數與函數的Lefschetz數相等。後來Blain Lawson寫信告訴我說，有關固定點集的結果可以用Atiyah-Singer index定理推導出來。這篇論文後來發表在Transactions(AMS 1974)，算是我第一篇發表的論文，幾年後Kobayashi也把這結果收集在他編寫的《Transformation Groups》一書中。反而我的學位論文一直未加整理，沒送出去發表。
三、
1972年夏，我辭去Wayne State University的教職，回台大與中央研究院工作。那時台灣還是特務橫行的時代，常有政治迫害之事，校園裡也總有學生被抓。出入境管制非常嚴格。台灣與國際的數學研究圈幾乎隔絕。我們時常謔稱台灣在戒嚴之下早成了「文化沙漠」。這時期我關心的事，主要是社會與教育。幾年之間，我的數學研究工作，幾乎中斷。七Ο年代台灣的社會正由農業轉向工業。政府的政策是「犧牲農業，扶植工業」。農村雖未崩潰，但農業經營卻經常是赤字。人口大量湧向都市。1972年回台之後，我在中央研究院數學所代理所長，輿論批評象牙塔的學術工作者不食人間煙火。我覺得中研院與台大的統計專業，可以做些實際應用的事。農業經濟調查是個切入點，於是申請了農業經濟的統計調查計劃。當時孫自健、唐文標與楊維哲都參與了計劃。我自己則深入農村發掘問題，以建立問卷，並著手組織學生當調查員，作全省抽樣調查。研究計畫的部分結果於兩年後整理成報告，其中我定義了農地經營的「自然收益」為農地在(儘量)排除人為差異的因素之後，因經營農作物而得的純利潤。報告證明土地等則越高，自然收益越小﹔指出田賦制度極不合理，且水田經營呈現赤字。台灣農村雖因子弟流入都市，以工資寄回原農家，維持農村生計，農村不破產，但農業經營本身則已經破產。
當時蒐集的資料頗為珍貴，惜無經費細加整理，只好保存在台大數學系內。我總想多年之後，有機會再做一次調查。兩相比較，可以更細緻的了解台灣農村的變遷，就像費孝通寫《重訪江村》一樣。可惜後來那些資料在1983年我出國訪問時，因系裡清理舊物而丟棄佚失。
另一個我關注的對象是數學教育的改革。我回台之前，項武義先生已在台灣推動高中數學實驗教材，極力批判當時正流行於各地的「新數學」。1973年我接下了實驗教材三、四等兩冊的編寫工作，並於翌年夏天赴彰化高中實地試教，同時巡迴五、六十個中學，每月又出版《數學教室》雜誌，公開討論數學教學，在各地捲起了數學教育改革的風潮。
從1972年到1978年間，我數學研究的工作，乏善可陳，只寫了幾篇小論文，刊登在中研院的Bulletin。到1977年左右，台灣民主運動逐漸匯集起力量，黨外勢力慢慢在崛起。我一方面與黨外人士時常往來，另一方面則檢視自己荒廢多年的數學研究工作。Blain Lawson還時常把他的論文寄來給我，我清楚明白自己已經脫離研究的第一線，遠遠的掉隊落伍了。雖然要應付當時台灣學術界對教授專業研究所作的要求，仍綽綽有餘，但心底終覺慚愧。
1978年秋，我回Berkeley訪問，想做流形上eigenvalue的問題，苦無結果。隨後轉而研究球面上的Bernstein問題，這是陳省身提出的猜想。猜想的內容是:一個安裝 (embedded) 在 SN+1 中的球面 SN 如果是最小曲面，那麼它一定是赤道球。我廢寢忘食的做了幾個月，以為證明了這個猜想。項武義問我怎麼做的，我說用第二變分式，他說那很可能就走對了路子。翌春，陳省身約丘成桐與彭家貴來他研究室，聽我把細節講一遍。我用的估計很複雜，在複雜的計算式中，丘成桐問了一個一針見血的問題:embedding的條件是不是「完全」用上了？此前我以為自己已經巧妙的用上了embedding的條件，因為我的做法是把minimal cone smooth out成一勻滑的流形，而在上面作估計。可是我深一層想，覺得我的做法好像有些不對勁。我花了整整一個下午把證明講完。丘成桐臨走還告訴我「有希望」。不過我相信他已經看到了關鍵，不想澆我冷水。其後幾天，彭家貴幫我重新校對我的論文手稿。最後我們各自都找到了漏洞的位置。我努力想挽救，但終究失敗。幾天之間，我很沮喪。有個午后，我躺在Oakland一個小公園的草地上，整個下午兩眼瞪著天空，內心異常懊惱。但隨後深自反省，終於相信自己並未抓到真正的節骨眼。幾個月不分晝夜的苦幹，一夕之間，付諸流水，看來白費心力，其實是非常珍貴的經驗。這次的投入與挫折，深化了我對數學研究的認識，也讓我明白自己的缺點:我不能徒有想像，紮實的苦功還是要做好。我在 hard analysis方面的背景訓練太弱了。
四、
1978年，我結束Berkeley一年的訪問。這一年沒做出什麼好的研究結果，但慢慢又與國際數學研究的潮流接了軌。Meeks、鄭紹遠、Richard Schoen開始活躍於幾何學界。丘成桐的工作則已趨成熟。在Berkeley訪問期間，我開始接觸他們的工作，漸漸被他們的路線吸引。幾何學從六O年代最小曲面的深化研究為起點，到了七Ο年代與微分方程深度結合，使幾何學從Bourbarki結構主義影響下的空中樓閣進入現象界，卻不流於細枝末節。相反的，這條脈絡緊緊扣住幾何本質的探討。現代黎曼幾何的核心概念是探討彎曲空間的內涵。例如熱傳導與Brownian運動在彎曲空間的行為何如？古典複變中的 Liouville定理在彎曲空間對嗎？在彎曲空間的無限遠處給定邊界值，那麼偏微分方程中的 Dirichlet問題是否有解？這三者其實是同一個問題：在負曲率空間，熱傳導或布朗運動速度快，無窮遠處的訊息可到達有限處，故Dirichlet問題有解。相應的，Liouville定理在負曲率空間就不成立，因為此時Dirichlet的解便是一個佈滿全域但非常數的函數。反過來，Liouville在正曲率空間是對的，Dirichlet問題無解，因為布朗運動速度太慢。
數學研究猶如藝術創作，數學的品味(taste)顯然各有不同。品味對數學研究的選擇是重要的，秦九韶說「萬物莫不有數」，天地之間數學確實無所不在，什麼東西都可以研究。數學家要選擇研究什麼？這就反映了數學家的品味。早在1968年我還是Rice的研究生時，Rice數學系在topology方面的研究陣容很強，幾位頂尖人物都在Rice。但那裡的研究路線不吸引我，我覺得那是空中樓閣。在文明的各分支中，數學最為抽象。離開抽象就沒有數學。但數學應游走於實際現象與抽象結構之間。我認為先觀察而後結構，有人則只喜抽象結構。這是我喜歡Archimedes與Euclid，但不認同柏拉圖的緣因，後者對我來說終究是空中樓閣。這項體認也是1968年我離開Rice去Berkeley學最小曲面時的心理背景。微分方程規範了自然界的幾何形體，研究這種形體的幾何會比研究空泛定義下的幾何更為詭譎生動，結構也更豐富多變。抽象與現象相互為用，其間存在著有趣的辯證關係。
早在1972年我初回台大時，曾與張秋俊合開一門結合微分幾何與微分方程的討論班，當時叫做DEG seminar(Differential Equations and Geometry)。討論班便是在上述的體認下進行的。那時我很想做彎曲空間上的Laplace值譜問題。熟讀M.Berger由Springer-Verlag出版的講義。值譜問題很吸引人，Kac在他的著名論文〈Can one hear drums?〉中，提出這樣的問題:「聽鼓聲能否知道鼓的形狀?」用幾何的語言說:從黎曼流形上的Lapalcian的值譜，能夠決定流形的幾何到什麼程度？但今日回想起來，自己當時還是能力不足，也未十分努力，終究沒有弄出像樣的東西。DEG Seminar開了一年多便告中停止。到了1978重訪Berkeley，知道丘成桐、鄭紹遠、Schoen等人的工作，覺得開了眼界。
五、
1979年底,台灣發生美麗島事件。幾位過從甚密的朋友都被逮捕，一關就五年八年。從1972年，初回台灣，我便在邊緣地帶支持民主運動。紀萬生、王拓、陳菊、蘇慶黎都變成好友。1978年重訪Berkeley時，一方面努力做數學，另一方面仍關心台灣政治情勢，例如協助林孝信成立台灣民主運動海外支援會，也寫了支援會宣言。這份宣言後來流入台灣。美麗島事件中被抓去的王拓與陳菊，都被問及那份宣言與我的關係。
美麗島事件發生,全島風聲鶴唳。看朋友們被抓,我深為難過。唐文標因為在黨外雜誌上匿名寫了許多文章，也擔心被抓。我對唐說：「我們不會有事，除非抓500人才會抓到你，抓1000人才會抓到我。」究竟我未有第一線的參與，只做邊緣性的支援，不覺得會被注意。做為知識份子。我不以為自己可以不問世事，閉門專作研究。專業工作表現與社會責任對我來說,是一體兩面。Alan Porter評論Henri Bresson的結語說:「他必須先是世界公民，然後他才是傑出的藝術家。」Bresson的作品蘊含他對人深沉的悲憫，道白他對人類困境似遠還近的關懷，猶如他取鏡的手法。藝術家如此，何獨數學家例外?
Pablo Casals講自由是一切創造的根本。他低沉雋永的琴韻觸動了二十世紀無數人底層的心弦。人失去自由,便沒有藝術創造，沒有科學創造。從事數學研究的專業者，如何能無視於獨裁者對自由人權的蹂躪？
這是我年輕時代所面臨的兩難。清華大學社研所吳介民說，這種兩難是那個時代第三世界知識份子的宿命。做好數學專業一定要投入全付心力。我不以關心社會做為自己未全力做好數學的藉口。事實上，我尤其敬仰那些為數極少，能做好頂尖的專業工作，又深度關切世事的人，如Palo Casals，Pablo Neruda，Noam Chomsky，Alexandre Grothendieck，Edward Said。寫這段話只為了忠實表白自己及我同時代一些人內心長年的矛盾，不意也證明了自己數學才能的限制。
六、
1980年陳金次從Stanford讀完書來台大。他在Stanford跟Robert Finn學毛細曲面，並帶回來一些有趣的問題:裝在一個凸容器的毛細曲面，是否也是凸狀？我猜想這種毛細曲面若有凹處，那麼矛盾會出現在由凹變凸的銜接點。為了理解銜接點附近的曲面形狀，我試圖用圓柱面去切觸毛細曲面，並實際動手勞作。用塑膠奶瓶與玩具黏土捏出模型。不久我想起Alexandrov在他著名的對稱話方法中曾發展出橢圓微分方程的高階接觸比較定理。利用圓柱面來與毛細曲面作二階切觸比較，我證明了當毛細曲面在邊界與容器相切時，則曲面確成凸狀。約一年後，Finn則證明在邊界相切的條件是必要的。如果不相切便可造出反例。我把這結果寄到《Inventiones of mathematicae》(vol.67,1982)刊登。由於問題是陳金次告訴我的，而且我在思考這個問題也常與他討論,所以就與他聯名發表。我們當初考慮的是無重力狀態下的毛細現象。在有重力時,類似的結果由Nicholas Korevaar獨力完成。
利用二階接觸比較的技巧，我隨後又對毛細曲面最低點的位置作了定量的估計，並說明這估計是sharp。陳金次也利用它得到其他的結果。Robert Finn後來告訴我說,此前他用過二階切觸比較，作過一些東西。順利解決這問題，對研究方向有直接影響，我開始漸漸熟悉一般非線性橢圓微分方程的技巧,研究興趣也擴及分析方面的問題。
美麗島後幾年，民主運動陷入低潮。政治迫害的大案，神人共憤。林宅血案後，陳文成也被謀害。陳文成於1971年自台大數學系畢業。遇害前已在Carnegie大學任教。1981年暑假回台，被警備總部約談後一去不回。幾天後陳屍台大校園。約談之前兩天還拜訪母系，與我聊天，誠摯熱情，令人難忘。案發隔天，我去他父母家祭拜，看他父母痛不欲生，又看四周特務戒備森嚴。天地不仁，草木何存？他的慘遇讓我萬分悲憤,也沮喪一段時日。
1979到1983年間，台灣政情苦悶低迷，我只有專心於數學。1984年夏，我赴Standford訪問一年，並兼任常微分方程的課。我與Finn,Gilbarg,White及Tam時常討論數學。自覺學問有若干進步。也是這段時間，我閒來對王安石與對李義山的詩，下了一些功夫。覺得近人重蘇薄王，不過是偏見，純因為政治意識保守。王詩「誰似浮雲知進退，才成霖雨便歸山」瀟灑自如。我喜歡李義山，則因其詩迴疊詭綺，又溶其社會批判於情詩，竟了無痕跡。這段時日感慨時局，亦念舊友身繫囹圄，偶而寫點散文排遣情懷。在中國時報寫〈糟蹋〉一文，便是這種心情的羽化。
七、
時序進入政治解嚴前夕，自由民主的呼聲開始此起彼落，我逐步涉入校園民主運動。同時保留三成的時間做數學研究。1987年我寫了一篇長文，主張橢圓微分方程解的凸性，與零階 (例如Dirichlet)邊界條件或一階(例如Neumann或capillary)邊界條件的關聯是間接的，甚至與其定義域呈凸狀的假設，都只是間接關聯。真正決定解是否為凸性的，應為二階邊界條件。如此主張的基礎是我探討了下列的問題:什麼時候一般二階對稱張量(如解曲面Hessian的固有值，或其第二基本式皆為考慮二階對稱張量的原始雛型)，會滿足Maximum Principle? 這估計相當繁複，但我還是弄出來了。可是結果顯示我所期望的自然規律並不完整。論文也未發表，直到2001年，我才把它放入〈Minimum Principle,Convexity and Curvature Distribution〉[mp]一文中。當時的研究結果不完整的理由，是我的企圖太大。我想找一方法，包容所有Convexity問題的結果。可惜事實未如人願，但它對我後來持續十年的研究(也是斷斷續續)，卻開了頭。
這段日子最讓我愉快的，是我與王藹農合開的幾何seminar，後來呂輝雄加入，便與清大合辦。黃振芳亦經常來參加。這個seminar對我來說是早年與張秋俊合開的DEG Seminar的延續。1979到1982年間我也與劉豐哲，陳金次弄過seminar，側重義大利學派de Giorgi， Bombieri用BV-function處理最小曲面的技巧。我與王藹農合開的seminar，對微分幾何當時最新的主流問題，廣泛討論。王藹農生性淡泊，又涉獵甚廣，我從他那裡學了很多東西。他讀過很多重要的論文。Seminar的議題毋需事先安排，每次上課時，當場問誰要講，由於大家熱烈參與，經常有人志願要講。有人講，大家就聽。沒有人講就叫王藹農講。王藹農一言不發走回office，在資料櫃抽出一篇他有興趣的論文，便上台講述。通常都講得條理清楚，興味盎然。這綿延近十年的幾何seminar台大清大做微分幾何的研究生應也記憶深刻。我尤喜歡討論的氣氛。課上大小問題，大家都隨時發問，或上台補充，彼此絲毫不以為意。我覺得一般數學的seminar都太正式，大家不敢問笨問題。偶有人在台下發問，也是一問一答便幾乎停止對話。我認為數學研究者反應再快，也無法對別人的工作，一一熟悉到當場就了然於胸。若沒有經營一種完全開放無忌的輕鬆氣氛，討論常常是單向說明，演講聽完後仍不易深入其中內容。學習與研究的效果便大打折扣，在一般數學seminar中，我相信在座聽眾一知半解的佔大多數。因此上seminar便成了負擔，而非愉悅。我們這個幾何seminar的課中，由於大家敢問敢說敢發表意見，有時幾個人一起到黑板上畫東畫西，使大家都能凝聚起精神討論，細節也都弄得很通徹。
人為什麼要投入一生心力於學術研究？從年輕時代我就時常想這問題。無疑的自我表現以求肯定是個驅力，但難道要了解世界的好奇心不是更原始的動機麼？把學術研究變成純粹人比人的場所，而忘了自身好奇的本性，把人追求知識的熱情愉悅轉化成純粹的競爭，難道無損於人類文明的價值？我贊同今日的學術研究者應承受競爭的壓力，因為學術研究只是文明分工之中備受禮遇的一個部門，必須承擔社會責任。但研究者自己做出結果的喜悅，感悟別人美麗心血結晶時的讚歎，日夜與同仁切磋討論時一點一滴的收穫，這種種不同形式的互動，帶來的自我肯定，應凌駕於評比競爭的外在表現。
台大幾何seminar也孕育出一些研究成果，參加者有些不錯的工作，直接或間接啟發於seminar，也陸續發表於幾個重要的國際雜誌。在seminar後期我曾想將那些論文彙編成一本集子，寫一些當時的故事。後來因同事中有異議，覺得多此一舉，便不了了之。但那seminar確實給過我多年愉快的時光。Seminar用我名義開課，上課鐘點費則匯集成「幾何基金」，贊助相關研究。課中討論熱烈，時常延長至天黑，大家一起無分師生翻過台大北側圍牆，到對面巷內一家老麵店吃麵聊天。那家老麵店是違章建築，大家常在巷邊搭桌用膳。因為要爬牆，久而久之大家都叫那家麵店做「爬牆麵」。可惜後來已被拆除。
八、
1987年國民黨政府宣佈解除政治戒嚴，但台灣並不因此順利成為民主社會。正好相反，抗拒改革的保守勢力依然強大無比。但要求民主自由的共識已逐漸形成。改革與保守兩股勢力的衝突，在解嚴之後開始搬上檯面，街頭運動不斷發生。台大校園少數學生走在改革浪頭，興起校園言論自由運動。一些系所的教員也被浪潮帶動，支持校園民主。李文忠退學事件把我捲入漩渦，我無法坐視學生的無助，坐視年輕人的民主理想一再被強大的政治勢力假藉校規摧殘無餘。同時校園外的社會運動如農民運動、環保運動、教育改革運動正開始抬頭。我除了維持教課及參加幾何seminar之外，研究數學的時間因積極參與校內外社會民主化的運動，而所剩無幾。
這幾年街頭運動，如果是事先知道的，我幾乎無役不與，從反核禁食靜坐，反暴警事件，到新聞自由，三月學運我都在場，有時也在鎮暴警察環伺下夜宿街頭。有一次一位上大一微積分課的學生在下課後追上我說:「老師,為什麼政府老是聽不進去大家在講什麼,你這麼老了,還要這樣夜宿街頭。」她話未已,已紅了眼眶,年輕人流露摯誠，我頗受感動，想起1969年我在Berkeley，反戰運動正達高潮，當時越南人民死傷無計，美國士兵亦已死五萬人傷三十萬，我數度參加學生示威，吃催淚彈。有次名歌手John Baez來學校演唱，夜很冷，大家裹著被子去聽歌，她與另一名女歌手對唱，我記得有一段歌詞是:「妹妹與我不斷向爹娘訴說:事情不是這樣，不是這樣」，當她們反覆唱到「但他們不聽，不聽，不聽... 」之時，全場聽眾不覺一起附和的唱著:「他們不聽，不聽，不聽」，歌聲沉痛，震人心弦。
年輕時我讀聞一多的傳記，他寫過一些新詩，有一首自比小孩，降生到世間，看到這世界如此荒繆，他連說:「這不是我的中華，不對，不對。」聞一多當時是西南聯大的教授，後來被蔣介石派人暗殺，1990年左右，有次與陳省身先生閒聊，我忽然想到聞一多，陳先生與聞一多同時在西南聯大任教，我問起陳先生是否認識聞一多，他說認識。稍停之後，反問我一句「為什麼提起聞一多?」我回答:「沒什麼。」事實上，我心裡想問的是專業責任與社會關懷的衝突。陳先生在數學專業上成就頂尖，聞一多則是為社會關懷付出了生命。我終止追問，因知這兩者冰炭不容，走哪條路，到底是個人選擇。
我生在二二八悲劇與白色恐怖的年代，成長環境又讓我對人世較為早熟，冰與火在我心中兩相拉扯，或許真是宿命。但我絕非理想主義者，我心中沒有理想國。「善」之於我，尤為陌生，我從不追求「善」，我要的只是自由，我認為每個人都有他獨特的生命，但生命獨特的基礎是自由:生存的自由、求真的自由、美的自由，與人互動的自由。我只是不願看到人的自由不斷被集體意識，被強權暴力所摧殘。但我又無能為力，而且沒有勇氣，沒有足夠的熱情，跳到火中去燃燒自己。
我有的只是冷靜的頭腦，分析自己，分辨是非，比較知道這個世界的真實長相。我追求的不是「善」，頂多是「真」。我參與社會的動力來自求真。我認為「善」(包含愛)是個人的，「善」與「愛」不能公眾化，一但公眾化，「善」與「愛」就要變成偽善，變成教條，甚至會反過來吃人。世間多少悲劇都來自公眾化的「善」與「愛」。我會走上街頭，只因抗議獨裁者為什麼無知到要踐踏這個世界最可貴的真實，就像John Baez的歌中所唱，像聞一多的新詩所云。
八O年代，我在台大上課時注意到一位旁聽的學生。一連多年不論我開什麼課，他都坐在台下，從不發問，從不參加討論。幾次我在課後與他談，他告訴我他對數學很有興趣。我便試圖了解他的程度，建議他如何選課，如何讀書，如何讓自己進步。有個夜晚，我在研究室裡工作，隱約覺得門外走廊時而有人來回徘徊，後來才看到是他。邀他進來聊談，他欲言又止，並語意不清。斷斷續續的，他談到政治迫害，談到學者被監聽之事，也談到有些事他身不由己。最後神情沉重，語帶感情對我說:「老師，你要多注意，多保重。」從此便消失無蹤。其實我老早便猜想他是職業學生，被派來監視我的言行，但我並不因此而對他特別存有戒心。相反的，我看他本性忠厚，對他的態度與對其他的學生無分軒輊。我關心他的課業，他的心情。我總覺人的本性可善可惡，環境如果壓抑人的自由，使人不能獨立思考，不能有所選擇，那麼人會墮落，世界會變得非常可怕。可是反過來，人有生存的自由，有思考的自由，有嘗試錯誤的自由，有了解世界的自由，一點點關切或許可以啟動他心靈深處的美。這位學生的出現讓我更篤定這樣的信念。
1990年我把橢圓微分方程解曲面各類曲率的上調和性(superharmonicity)，做更細緻的探討，例如把一個裝著液體的封閉凸容器，拿到太空中，問這時液面會呈現什麼形狀?又例如 Max Shiffman早在1956年(Ann. of Math.)討論過夾在兩平板間的管狀(annulus-like) 最小曲面，若其邊界為兩個凸閉曲線，則可證知:任一平行於兩平板的平面，截在曲面上的截痕，亦必為凸閉曲線。最小曲面是內外兩側壓力相等的肥皂液面所呈現的形狀。我考慮內外壓力不一的情況，證明液面內壓力小於外壓力時，Shiffman定理仍對。王藹農則證明內壓力較小時，有反例。我把上調和性的研究結果發表在《Pacific J. of Math.》(1992)。
這段期間我又估算常均曲率曲面延展範圍的大小，並成功的應用到Phragmen-Lindelof問題上，這篇論文在1992年Stanford與Berkeley兩校數學系為Robert Finn合辦的退休研討會上發表，並刊登在《Advances in Geometric Analysis and continuum mechanics》 (International Press，Cambridge)一書中。
這幾年象牙塔外的世界，示威遊行連連不斷。五二Ο農運、反核四、反對體罰、反軍人干政、反刑法一百條，校園內外風風雨雨對我的數學工作都有影響。1992年我與一些學運的學生籌劃用影像分析當前社會結構，使大家看到台灣社會各種問題癥結。不久我們成立里巷工作室。我與學生拿起攝影機到全島各地，紀錄教育現象，剪接毛片，製作〈笑罷童年〉這部評論性的影片，並深入各地巡迴放映，現場討論教育問題。
早在1973年回國不久，我便因編寫高中數學實驗教材赴中學試教。我看到台灣數學教育所以扭曲變形，問題不止出在數學教育本身，而出在政治出在社會。人的獨立思考，人的自由創造原本是教育的首要任務，可是在獨裁政治的現實中，這些都變成空談，甚至都不斷遭到壓制。很明顯，台灣幾十年來的教育是為了人力規劃而非為了人才培育，是為了政權安定，而非為了使每個人謀求最好的內在發展。教育的面目扭曲變形，是台灣政治社會造成的必然結果。1993年秋末我開始四處鼓吹，尋求各方支持，共同發動大規模遊行要求全面改造台灣教育。1994年四月十日終於集結兩三萬人走上街頭，展現民間要求台灣教育進行全面改造的強烈意志。這便是所謂四一Ο教改運動。台灣的教育改革從此蔚為風潮。
九、
1994年10月我罹患末期肝癌，並已擴散到肺部，亦達十多個腫瘤。幾家醫院的診斷都預言生命期只剩下三到六個月。肝癌發病當天，我在清大演講最近研究結果：常切曲率的曲面若有凹陷，則所佔範圍必然廣大。演講結束便因胸腰疼痛而病倒在呂輝雄的研究室。
我自己很喜歡這個「大凹陷」的結果，它解釋了許多相關的問題，同時也透露出凸性問題的本質。多年前我曾一度猜想凹陷部份至少涵蓋穩定面域（domain of stability），但不難在管狀常均曲率的曲面上找到反例（比如用一般Delaunay surface）。1994年夏，林俊吉服完兵役回來，向我說他的新結果：讓皂泡面上的某塊面域變形，其他部分不動，均曲率會隨皂泡體積增加而減少或增加。當面域很小，均曲率應增加。但當面域擴大到一個臨界面域時，則均曲率減小。對於這臨界面域他證明可用Jacobi Operator的第一固有值是否為零，來作為判準。
我隨後細想，這臨界面域與Giusti在非參數曲面上考慮過的極面域(extremal domain)，有密切關聯。它恰好是Giusti所定義的極面域在一般曲面上的推廣。於是我在一般曲面域上用林俊吉的判準，定義了極面域。我觀察到:極面域比穩定面域範圍稍小，但已相當廣大，例如任何非參數常均曲率的曲面域，都還比極面域小。然後我證明了常均曲率曲面上的凹陷部份，至少要涵蓋極面域。
橢圓微分方程慣常使用的maximum principle,comparison principle與continuity method，對於這些問題都使不上力。我採取變分法，估計第二變分式，才完成這項結果。我自評這個工作不論從問題的意義或從方法的開創性來說，都是我十多年來做得最好的研究。1994年10月病發之後，我想應該把它寫成論文發表。等到在病床來整理論文時，發現在清華大學演講當天我的估計有個漏洞。我又花了將近一個星期重作估計，終於把那個漏洞補好。當時我在加州就醫，完成這項工作對一個面對死亡的癌症病人來說，意義深長，旁人恐怕不易體會。
我當時以為大凹陷的結果將是自己一生最後的工作，對於《Archive of Rational Mechanics and Analysis》這個刊物一直維持old fashion的taste，素來我情有所鍾。這時我便把林俊吉所做的判準(即論文中的Theorem 1)放在一起，寄到Archive。因為病中做事不積極，連校對都拖了一年，論文遲至1998年才發表。
關於我後來如何死裡逃生，茍延至今日，許多人都深為好奇。為什麼奇蹟會發生在我身上？我其實一無所知。我的數學訓練讓我不輕易對因果下結論。這段抗癌經歷我也許該另文說明。
1994年生病前後，我整理並出版了三本非數學專業的書：《童年與解放》、《台灣教育的重建》與《黑眼珠的困惑》。這些書多少紀錄了近一二十年我在數學之外所思考過的一些事。
十、
1995年夏天，我開始寫另一篇有關經濟哲學的論文。寫這篇論文耗掉我病中整整兩年的時間。早在1987年我在《Science》雜誌上讀到一篇通俗文章，標題是”Democracy is mathematically unsound”。此後便對Arrow的詭論發生懷疑。Kenneth Arrow在1960年曾以簡潔的數學推論，證明了：「理性的公共選擇不可能」。(後被引申為「直接民主經數學證明為不可能」。)這個詭論對現代政治經濟學影響深遠。Arrow本人後來也因此得到諾貝爾經濟學獎。幾十年來更衍生出無數相關的研究。到1999年A. Sen還因這一方面的研究得另一個諾貝爾經濟學獎。1987年我剖析Arrow推論，質疑其理性原則。在台大經濟研究所做了一個演講。那時我的觀點尚未十分成熟。1995年我拿出當年的講稿，想把它寫成論文，不久便越陷越深。原因是我讀了Arrow學派其他研究者如Chichilnisky, Baigent等人的論文。其中Chichilnisky因處理連續選項集(continuum alternative set)的問題，與幾何關聯較厚，尤其引發我的興趣。
Arrow處理的是較簡單的離散狀況(discrete case)。他的理論常被質疑的是：他所提的獨立原則(independence of irrelevant alternatives)能否看成一個理性原則？Chichilnisky則對連續狀況(continuum case)，改提連續性(continuity)作為理性原則，她證明了：不存在公共選擇(continuous social choice)滿足連續性、一致贊同(unanimity)與匿名性(anonymity)等理性原則。連續性作為理性原則當然無可厚非，如果她的說法正確，那麼理性公共選擇確實成為邏輯上的不可能。我仔細分析，發現她用的topology出了問題。
1997年我完成〈Singularity in Social Choice Theory - Democracy is not mathematically unsound〉，論文長達80頁。我再到台大經濟所演講。我的論點是：主張理性公共選擇不可能的諸多理論所建立的數學模型，都先天排除了特異現象(singularity)。經濟學家對公共選擇中的特異現象，視而不見。我把這特異現象用數學結構主義的觀點，加以明白界定。
在自然科學家的研究中，特異現象的處理，是大自然對研究者的挑戰，也是許多研究因而蓬勃發展的生機。何以經濟學家面對公共選擇時，所建立的模型可以避開特異現象。我的結論是：公共選擇的結果，無可避免的會出現特異現象，既然所建立的模型把特異現象摒除在外，無怪乎他們可以證明出理性的公共選擇不可能。
我把這篇論文的一部份，改寫成一篇較短的文章，標題為”Is the proximity preservation rational in social choice theory?” ，僅20頁，將刊登在現今這領域最重要的雜誌《Social Choice and Welfare》(April,2004)。文章接受之前，曾歷經幾年與經濟學家之間的辛苦論辯，最後他們才了解了我的論點。至於論文的其他部分，我還須花功夫去說服經濟學家，這將更費周章。原因之一，是我用了太多數學。但要闡明singularity的概念，又要分析經濟學家已建立的模型，只能借助更細緻的數學。無論如何我認為經濟學家應該有singularity的概念，也應該正視它。
另一方面，那篇大凹陷的論文在Archive發表前後，Robert Finn寫信給我，說這觀點很可能是整個凸性問題的關鍵線索(clue)。事實上這項工作也與Hopf猜想有密切的關聯。五Ο年代Hopf提出的猜想是說：R3中任何封閉皂泡皆為球狀。這裡所考慮的皂泡可以有自我交穿(self-intersection)的現象。1984年Henri Wenti製作了許多環面皂泡的反例。在Wenti的工作出現之前，許多幾何學家都曾對Hopf猜想感到興趣，除了少數人像項武義，余文卿站在反方，作出一些啟示性的反面工作之外，有許多幾何學家都試圖證明Hopf猜想是對的。大家支持Hopf猜想的信念，來自於封閉皂泡不應有凹陷部分，一旦知道它沒有凹陷，馬上可以引用Cohn-Vossen的定理，得證Hopf猜想。1982年左右當我發展出二階切觸的方法以排除凹陷部分時，我也曾試圖用這個方法去證明Hopf猜想，結果當然失敗。Wenti的反例說明了「封閉皂泡沒有凹陷」的信念是錯誤的。我後來的研究則進一步澄清這件事：皂泡不是不能有凹陷，而是如果有凹陷，那麼凹陷區域必然廣大。這樣就更清楚的勾勒出Hopf猜想背後的幾何直覺，也清楚的刻劃出皂泡的大域性質。
這個結果同時說明了橢圓偏微分方程中凸性問題的本質：「當解曲面的範圍不夠大時，凹陷便無法在內部產生，因此解曲面是凸的」我自己的工作只及於Laplace方程與常曲率方程。如果這件事能涵蓋更多的非線性橢圓偏微分方程時，那麼我們便找到了凸性問題的關鍵。
2000年我在中央研究院演講時曾提出這觀點，並把大凹陷的方法再做延伸，證明凸區域也必包含極面域，因此得以刻劃皂面上凹凸交界線的形狀。2001年夏，我將這些結果做了全面性的分析，寫成〈Minimum Principle, Convexity and Curvature Distribution on Elliptic Solution Surfaces〉一文。這篇長文可說是我近年研究結果的總結，同時也澈底弄清楚1982年我與陳金次合作的問題，所蘊涵的深層意義。由於當時的結果發表在《Inventiones》，二十年後我也試著寄到同一個雜誌，看看會不會刊登。
十一、
台灣在政治解嚴，國會改造及總統直選的改革逐步實現之後，所謂「國家理性」已漸漸形成共識。國家理性是西方近代國家興起之後，所發展出來的概念。其中所謂國家精神，尤為哲學家黑格爾所推崇。它的意義是由政治菁英在國家整體發展的原則之下，擬定一套法律與民主程序來規範社會秩序，並予以有效執行。國家理性與資本主義結合，一經一緯編織成西方所謂自由民主的現代社會。
但這樣的民主，究竟是菁英民主。Karl Popper鼓吹開放社會，反對國家神話，直稱黑格爾是知識騙子。在菁英思想中，個人依舊不是主體，況且背後有國家主義的支撐，戰爭的陰影經常威脅人類和平與文明，而文明又不斷與自然對抗。人內在的自由解放，尤其遙不可期。當前世界的局勢如此，台灣內部諸種問題更層出不窮。
解嚴只是一個起步，在現代社會的門檻之前，台灣步履蹣跚走到了世紀末。數學、癌病之外，我仍密切在注意社會與政治，寫一些時論與雜文。1997年，我寫了一篇長文〈深化民主，發展新文化〉登在中國時報四版，引起不少迴響。我批評擴張主義與菁英主義這兩個主流價值，完全支配了台灣社會的意識型態。我主張開創新環境，進行社會重建，讓台灣社會進行內在反省，只有這樣，人的自由與解放才有萌芽的土壤。普及社區大學是其中一環。讓眾人有機會以知識為基礎，藉由公共參與，開放討論，重新認識世界，社會的成員才有獨立思考的能力，對現有的社會體制也才知所批判。1992年我曾倡議設立社區大學，到1998年，我抱病著手參加社區大學的推展運動，1999年夏我從台大退休，接掌永和社區大學的實務。希望為各地社區大學建立一種典範的類型。
2001年春，我辭去社區大學的工作。退隱整理數學論文，並開始思索餘生。
十二、
我於1960年進台大數學系，時方年滿十七，對數學茫無所知，不意四十年沉浮，竟與數學日日為伴至今。我小時對數學功課並無特別興趣，但喜歡想一些奇奇怪怪的數學難題，進數學系不過是巧合。十五歲讀天文航海家Nathaniel Bowditch的傳記深受吸引。Bowditch英譯 Jean Pierre Laplace的巨著《Celestial Mechnics》三大冊，終生在海上與日月為伍，熟諳二十多種語言，校對三角函數表，使航海技術大幅躍昇，減少海難。他幼時只上學一年便去船運公司當學徒，讀書全靠自學，因夜裡躲在閣樓苦讀牛頓《力學原理》的拉丁文版而學會拉丁文及物理。一生傳奇無數，我年少時本愛文學，因心儀其人經歷，思學天文而選數學為己業。
我一生數學研究水準平平，除一兩結果外，並未做出一流的工作，但數學於我則影響甚鉅。鑽研數學，使我慣於從根本思索問題，不迷惑於表象。年輕時以為數學中深蘊真理，老時方悟世間原無絕對之事。天理萬物，唯相對於其所屬系統。數學訓練使我善於獨立思考，不相信權威，不輕易媚俗。偶失於封閉，猶常能反覆思省人的根本價值，不讓自己迷失於專業的叢林之中。
浸淫於數學，使我洞悉抽象的深層意義，明白抽象與現象兩者糾結互動的辨證關係，進而思索抽象在人類文明中所佔核心位置。抽象是一把利刃，抽象思考使人能看到事情的普遍性，神智因而通明。抽象也是陷阱，使人無視世間種種特殊現象的富麗多變，而流於封閉專斷。文明知識的本質是抽象。知識份子之優於常人，亦在於他善於掌握抽象，別無其他。我於1999年為社區大學寫〈經驗知識與套裝知識〉一文，正是這條脈絡下的省悟。
數學是個人化的工作，數學創造深含自由的樂趣。有時做別人提的問題，有時做自己提的問題。「一張紙一枝筆」數學家不怕孤獨。但數學研究不是永遠的彩虹，挫折、千百次的挫折、瓶頸裡的困頓，在困頓中看到一點亮光，循著亮光披衣夜行，然後頹然，重陷黑暗，在黑暗中張大眼睛久久，看不到什麼，只是出神。來回踱步，抱頭鎖眉。千百次的挫折，偶有一次欣喜。數學研究讓我在面對人世的困境時，每每不輕言放棄，鍛鍊出我堅韌的個性。
人在專注中所學得的，最為刻骨銘心。每一個專業工作者都有無數癡迷的體驗，毋庸我多言。我寫這篇數學生涯，只為紀錄自己與數學的因緣，為自己做個交代。
人世間多少悲歡，四十年學算，歲月忽焉而過，在數學專業和社會責任的兩難之間猶疑徘徊，終至一事無成。回首前塵，枉自傷情。於今我仍相信：
一個數學工作者必須先是一個人，然後才是一個數學家。
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